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2005.04.30

やっぱり面白い入試問題 解答の一つ

4月13日にやっぱり面白い入試問題ということで灘中学の算数の入試問題について、ちょっと考えてみました。
〜〜〜〜〜〜〜
「異なる3つの整数があり、3数の和に4を加えたものは、3数の積に等しい。
このような整数の組み合わせは2通りあるが、最大の整数が4である場合の3数の積は
□で、またもう一つの組み合わせの場合の積は□である。」
という問題に対して、
「異なる3つの整数があり、3数の和に4を加えたものは、3数の積に等しい。
このような整数の組み合わせは2通りあるが、」
というところの、「何故、2通りしかないのか」
数学的に証明してみよう
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

長らくお待たせしました。
いろいろ解答があると思います。
まず、私が考えた方法の一つを以下に紹介します。
・・・・・・・・・・・・・
3つの自然数をx,y.zとすると(x>y>z)
x+y+z+4=x・y・z
と、なる。
仮に最小のzを2以上とした場合、
最小の組み合わせは、
x=4,y=3,z=2になる。
与式にあてはめると、
4+3+2=9
4×3×2=24
24ー9=15
と、なりあてはまらない。
これ以上大きい数の組み合わせでは、題意の4を満たすものはないと考えられるので、
最小の数字は1となる。
従って、
題意は、
x+y+1+4=x・y
左辺、右辺を移項すると、
x・yーxーy=5
両辺に1を加えると、
x・yーxーy+1=6
因数分解すると
(xー1)・(yー1)=6
これを満たす自然数の組み合わせは、
1×6と2×3の二通りしかない。
従って題意に合う組み合わせは、
(1,3,4)と(1,2.7)の二通りしかない。
証明終わり。
・・・・・・・・・・・・・・・・
なお、最小の数字が1であることの厳密な証明は、以下に書きます。
今度はa,b,cの3つの自然数で考えてみます(x,y,zでもいいのですが、とりあえず変えてみます)
・・・・・・・・・・・・・・・・
a<b<cの3つの自然数がある。
X=a+b+c
Y=a・b・c
Z=YーX
とおく。
XがΔXだけ増加するとYの増加分ΔY>a・ΔX
よって=ΔYーΔX>a・ΔXーΔX=(aー1)ΔX
ゆえにaが2以上なら
ΔZ>ΔXが成り立つ。
ここでa=2のときX、Yの最小値は
X=9 Y=24 Z=15になる
Xminよりも大きい組み合わせの時
X=Xmin+ΔXとすると、
Y=Ymin+ΔY
この両辺の差を取って、
Z=Zmin+ΔZ=15+ΔZ>15+ΔX>15
すなわち,aが2以上に対してはZ=4を満たすことはできない。
さらにa=1とするなら
Xmin=6
Ymin=6
Zmin=0
と、なりZ=4を満たす組み合わせがある。
したがって、最小の数字は1以外ありえない。
証明、終わり。
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

この問題に関して、
これが数学の解き方だ!ということでバリカタBlogのマサボンさんからエレガントな解き方を示して頂きました。
とても素晴らしい解答なので、是非ご覧ください。

一つの問題、一つの解答に対してもいろんな解き方、考え方がある数学。
やればやるほど、その面白さがわかります。
楽しい数学、これからもまだまだ挑戦!!!
機会を見て、載せていきたいと思います。
お楽しみに。

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コメント

こんにちは

「エレガントな解き方」という言葉に魅かれました。
わが職場の大学受験担当の数学の先生の解き方はまさにそんな感じです。まるでパフォーマンスアートのような感じがします。

私個人はぜんぜん得意な科目じゃなかったので、大学受験では苦労しました。

数学的センスは自分にまったくないものなので、数学者や科学者には心底憧れます。

投稿: Rough Tone | 2005.05.01 05:20

Rough Tone さん。
おはようございます。
私もいつも数学の解き方を見て感心しています。
凄い!!!と。
全てをもらさず、重複せず、公平な学問だなと思っています。
なおかつ そのずるいほどエレガントな解き方には舌をまきます。
数学に限らず学問って分かれば分かるほど、知ればしるほど 深遠な謎に迫りワクワクします。
私は法律はあまり知らないので、いろいろ教えてくださいね。よろしくお願いいたします。では、また。

投稿: せとともこ | 2005.05.04 08:00

TBに加え文中でも紹介していただき大変恐縮デス。
(*^O^*)
数学の良さは解いた人しか分からないし、どう生活に生きてくるかも大人になって初めて分かる。最近はそんな気がしています。
次の出題も楽しみにしてマス。それでは、では。

投稿: マサボン | 2005.05.08 00:40

マサボンさん。
こんにちは。
お忙しかったようですね。
今、季節の変わり目ゆえ、体調を崩している人が多いようです。
どうかご自愛下さい。

>どう生活に生きてくるかも大人になって初めて分かる。

私も同感です。
論理的な思考、エラーアンドトライ、そして達成感。
楽しいですよね(^.^)
私も解くプロセスが好きです。
また楽しい問題、見つけたら紹介しマス。(^.^)
マサボンさんもなにかあったらお知らせくださいね。
では、また。

投稿: せとともこ | 2005.05.09 16:35

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受信: 2005.09.20 10:44

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