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2005.04.13

やっぱり面白い入試問題

今日は今年の入試問題で楽しいなぁと思ったものの一つ、
灘中学の算数を紹介します。
6番目の問題。
「異なる3つの整数があり、3数の和に4を加えたものは、3数の積に等しい。
このような整数の組み合わせは2通りあるが、最大の整数が4である場合の3数の積は
□で、またもう一つの組み合わせの場合の積は□である。」
多分、電車の吊革広告でご覧になった方も多いと思います。
頭の体操にはピッタシ。
まだ、試していない方は是非なさってください。
時間さえあれば組み合わせで、いずれ解答には辿り着くので、
ここでは解答は書きません。
それより、中学生、高校生のみなさんは、
「異なる3つの整数があり、3数の和に4を加えたものは、3数の積に等しい。
このような整数の組み合わせは2通りあるが、」
というところの、「何故、2通りしかないのか」という問題に挑戦してみませんか???
これは2通りしかない、ということが数学的に証明されます。
ただし、因数分解を習った学年以上でないと解けません。
(追記 ここで言う整数は自然数と考えてくださいね)

以前、よ〜く見れば楽しい入試問題というタイトルで入試問題には、ユニークで楽しいものがあることを紹介しました。
その折、「早く解答を教えてくれ」とメールを頂いたり、ちょっとばかり反響がありました。
クイズとか推理って、人を捉えて離さない何か魅力があるのでしょか?
それにしても、この頃の入試問題はユニークで楽しくていいですねぇ〜〜〜
出題者のセンスがいいなぁ。
こんな問題があると、受験生もひたすら詰め込み、暗記から解放されて、
論理的に考えるようになるかも、、、と思います。
また、他の問題も紹介しますね。
お楽しみに。

なお、京都教育大学付属高校入試問題解答も載せておきます。

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コメント

 こんにちは、TBありがとうございます。
この問題、答えは出たんですけど何故2通りしか無いのかは未だに考え中です。中3レベルの因数分解で何とかなるんですかねぇ?
論理を問う問題は解法を読んでもさっぱり分からない所があるので、自力で出さなきゃ意味が無い。しばらく頭の体操してみます。
(@_@;;)

投稿: マサボン | 2005.04.13 19:34

 こんばんは。面白そうなのでやってみました。

a,b,cがそれぞれ異なる整数であるとき、
a+b+c+4=a×b×cとなる組み合わせが2通りしかないことを証明せよ。

答え:証明不可能。

 aを0とした場合、0+b+c+4=0×b×c
 つまりaを0とした場合のbとcの組み合わせは、b+c=-4で無限に存在する。

 と、なりました。
 もしかして、自然数でなきゃいけない問題なのでしょうか。

投稿: | 2005.04.13 20:52

マサボンさん。
八さん。
こんばんは。
コメント有り難うございます。

マサボンさん。
はい、、、中3のレベルでいけます。
ちょっとしたひねりが必要ですが、、、
実は私もかなり時間かけていました、、、
なかなか洒落た問題ですから、絶対楽しめると思います(^.^)
また、感想や解答、お知らせくださいね。待っています。
では、、、

八さん。
フッフッフッです。証明不可能、、、とってもユニークで思わず笑ってしまいました。
確かに。ご指摘の通りです。中学以上を対象にするにはおおせの通り、
自然数としたほうがいいですね。
(中学受験の問題だから、正の整数、負の整数、という分け方はないのです。)
すぐに直します。
どうも有り難うございます。
ではまた。

投稿: せとともこ | 2005.04.13 21:29

 ボクなりの証明をバリカタBlogからTBさせて頂きました。
 因数分解とか場合分けとか、とても小6が解けるような沙汰ではなくなりましたが、こんな感じでOKですか?
(^O^;)

投稿: マサボン | 2005.04.14 02:25

マサボンさん。
こんにちは。
トラックバック、コメント有り難うございます。
早速、拝見を致しました。
すご〜〜〜〜いと思って感心して見ました。
あの場合わけって、なんだか身震いするくらい数学の醍醐味を感じますよね。
私はいつも思うのですが、数学ほど公平な学問はないと。
全てを漏らさず、一つも重複しない。

さて、私はもっと簡単な方法で解きました。
これは、今度アップします。
いずれにしても、この頃の入試問題、なかなかいけていますね。
こんな問題がもっともっと、出題されたらいいなあ〜〜〜

では、また、いろいろ数学やその他について意見を交換しましょうね(^.^)
これからもよろしくお願いいたします。

投稿: せとともこ | 2005.04.14 16:44

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